Gomeetrilist objekti, mida hiljem nimetati "Kleini pudeliks", kirjeldas esmakordselt 1882. aastal saksa matemaatik Felix Klein. Mida ta esindab? See objekt (õigemini geomeetriline või topoloogiline pind) lihts alt ei saa meie kolmemõõtmelises maailmas eksisteerida. Kõik suveniiripoodides müügil olevad mudelid on välimusega, mis annab Kleini pudeli olemusest vaid ebamäärase ettekujutuse.
Suurema selguse huvides kirjeldatakse seda järgmiselt: kujutage ette väga pika kaelaga pudelit. Seejärel tehke sellesse mõtteliselt kaks auku: üks seina ja teine põhja. Seejärel painutage kael, sisestage see seinas olevasse auku ja tooge see läbi põhjas oleva augu välja. Saadud objekt on neljamõõtmelise ruumiobjekti projektsioon, mis on tõeline Kleini pudel, meie kolmemõõtmelises ruumis.
Kleini pudeli kirjeldus matemaatiliste terminite keeles võivalemid ei ütle võhikule midagi. Kas selline määratlus rahuldab paljusid inimesi: Kleini pudel on mitteorienteeruv kollektor (või pind), millel on mitmeid omadusi. Pärast sõna "omadused" saate koostada pika seeria, mis koosneb trigonomeetrilistest funktsioonidest, numbritest ning kreeka ja ladina tähtedest. Kuid see võib segadusse ajada ainult ettevalmistamata inimest, kes on juba saanud aimu, milline on pudeli projektsioon kolmemõõtmelises ruumis.
Huvitav fakt: nimetus “Kleini pudel” sai sellele objektile tõenäoliselt tõlkija vea või trükivea tõttu. Fakt on see, et Klein kasutas oma määratluses sõna Fläche, see tähendab saksa keeles "pind". Saksama alt teistesse riikidesse "reisides" muudeti see sõna sarnaseks kirjaviisiks Flasche (pudel). Seejärel naasis termin päritoluriiki uuel, muudetud kujul ja jäi selliseks igaveseks.
Paljude kultuuritegelaste (eeskätt ulmekirjanike) jaoks osutus atraktiivseks juba termin "Kleini pudel". Selle kasutamine atribuudina ja mõnikord ka peategelasena on muutunud "intellektuaalse" ilukirjanduse märgiks. Selline on näiteks lugu "Viimane illusionist", mille on kirjutanud Bruce Eliot. Loos satub mustkunstniku assistent oma patrooni kallale, kes tegi trikke neljamõõtmelise Kleini pudeliga. Pudelisse roninud illusionist jääb sellesse poolenisti sukeldunud. Autori sõnul ei saa seda pudelit sisu kahjustamata katki teha. Kas see on tõesti nii - ei oska öeldamitte ühtegi. Vähem alt matemaatikud, kes võiksid sellele küsimusele vastata, ei olnud sellest hämmingus, teaduse jaoks on see ebaoluline.
Mõnikord täidetakse spetsiaalselt valmistatud Kleini pudelid veiniga reklaami eesmärgil. Tõsi, sellise klaaspudeli valmistamine on tehniliselt keeruline, selleks on vaja ekstraklassi klaasipuhurit. Seetõttu on see üsna kõrge hind ja seda kasutatakse harva. Ja tehnoloogia arendamine ja selliste pudelite tootmine voolul pole mõttekas, sest selleks on vaja välja töötada pudeli vedelikuga täitmise meetod (ka siin on raskusi). Ja ebatavalisuse ja uudsuse tunne asendub kiiresti ebamugavusega, mis tekib sellisest pudelist veini klaasidesse valamisel.
