Achilleuse ja kilpkonna paradoks, mille esitas Vana-Kreeka filosoof Zeno, trotsib tervet mõistust. See väidab, et sportlik mees Achilleus ei jõua kunagi kohmakale kilpkonnale järele, kui see hakkab liikuma enne teda. Mis see siis on: sofism (tahtlik viga tõestuses) või paradoks (väide, millel on loogiline seletus)? Proovime sellest artiklist aru saada.
Kes on Zenon?
Zeno sündis umbes aastal 488 eKr Itaalias Eleas (tänapäeva Velia). Ta elas mitu aastat Ateenas, kus pühendas kogu oma energia Parmenidese filosoofilise süsteemi selgitamisele ja arendamisele. Platoni kirjutistest on teada, et Zenon oli Parmenidesest 25 aastat noorem ja kirjutas oma filosoofilise süsteemi kaitseks väga varakult. Kuigi tema kirjutistest on vähe päästetud. Enamik meist teab temast ainult Aristotelese kirjutiste põhjal ja ka seda, et see filosoof Zenon Eleast on kuulus oma filosoofiliste teoste poolest.arutluskäik.
Paradokside raamat
Venendal sajandil eKr tegeles Kreeka filosoof Zenon liikumise, ruumi ja aja nähtustega. See, kuidas inimesed, loomad ja objektid saavad liikuda, on Achilleuse-kilpkonna paradoksi aluseks. Matemaatik ja filosoof kirjutas neli paradoksi või "liikumise paradoksi", mis sisaldusid Zenoni 2500 aastat tagasi kirjutatud raamatus. Nad toetasid Parmenidese seisukohta, et liikumine on võimatu. Vaatleme kõige kuulsamat paradoksi – Achilleuse ja kilpkonna kohta.
Lugu on järgmine: Achilleus ja kilpkonn otsustasid jooksmises võistelda. Võistluse huvitavamaks muutmiseks edestas kilpkonn Achilleust mõne vahega, kuna viimane on kilpkonnast palju kiirem. Paradoks seisnes selles, et seni, kuni jooks teoreetiliselt jätkus, ei jõua Achilleus kunagi kilpkonnast mööda.
Paradoksi ühes versioonis väidab Zeno, et sellist asja nagu liikumine pole olemas. Variatsioone on palju, Aristoteles loetleb neist neli, kuigi sisuliselt võib neid nimetada kahe liikumisparadoksi variatsioonideks. Üks puudutab aega ja teine ruumi.
Aristotelese füüsikast
Aristotelese füüsika raamatust VI.9 saate teada, et
Võistlusel ei saa kiireim jooksja kunagi kõige aeglasemast mööduda, sest jälitaja peab esm alt jõudma punkti, kust jälitamine algas.
Nii et pärast seda, kui Achilleus on määramata aja jooksul jooksnud, jõuab ta punktinimillest kilpkonn alguse sai. Kuid täpselt sama ajaga liigub kilpkonn edasi, jõudes oma teel järgmisse punkti, nii et Achilleus peab kilpkonnale siiski järele jõudma. Taas liigub ta edasi, lähenedes üsna kiiresti sellele, mida kilpkonn varem hõivas, taas "avastab", et kilpkonn on veidi edasi roomanud.
Seda protsessi korratakse seni, kuni soovite seda korrata. Kuna mõõtmed on inimese konstruktsioon ja seetõttu lõpmatud, ei jõua me kunagi punkti, kus Achilleus võidab kilpkonna. Just see on Zenoni paradoks Achilleuse ja kilpkonna kohta. Loogilist arutluskäiku järgides ei suuda Achilleus kunagi kilpkonnale järele jõuda. Praktikas jookseb muidugi sprinter Achilleus aeglasest kilpkonnast mööda.
Paradoksi tähendus
Kirjeldus on keerulisem kui tegelik paradoks. Seetõttu ütlevad paljud: "Ma ei saa aru Achilleuse ja kilpkonna paradoksist." Raske on mõistusega tajuda seda, mis tegelikult pole ilmne, kuid ilmne on just vastupidine. Kõik sisaldub probleemi enda selgituses. Zenon tõestab, et ruum on jagatav ja kuna see on jagatav, ei saa inimene jõuda teatud ruumipunkti, kui teine on sellest punktist kaugemale liikunud.
Zeno tõestab neid tingimusi arvestades, et Achilleus ei saa kilpkonnale järele jõuda, sest ruumi saab lõpmatult jagada väiksemateks osadeks, kus kilpkonn jääb alati osaks ees olevast ruumist. Samuti tuleb märkida, et kuigi aeg on liikumine, siis naguseda tegi Aristoteles, kaks jooksjat liiguvad lõputult, olles seega paigal. Selgub, et Zenonil on õigus!
Achilleuse ja kilpkonna paradoksi lahendus
Paradoks näitab lahknevust selle vahel, kuidas me maailmast mõtleme ja kuidas maailm tegelikult on. Joseph Mazur, matemaatika emeriitprofessor ja raamatu "Valgustunud sümbolid" autor, kirjeldab paradoksi kui "trikki", mis paneb sind mõtlema ruumi, aja ja liikumise üle valel viisil.
Seejärel tuleb ülesanne kindlaks teha, mis meie mõtlemises täpselt valesti on. Liikumine on muidugi võimalik, kiire inimjooksja suudab võistlusel kilpkonnast edestada.
Achilleuse ja kilpkonna paradoks matemaatikas on järgmine:
- Eeldades, et kilpkonn on 100 meetrit ees, siis kui Achilleus on 100 meetrit kõndinud, on kilpkonn temast 10 meetrit eespool.
- Kui ta jõuab nende 10 meetri kõrgusele, on kilpkonn 1 meetri võrra ees.
- Kui ta jõuab 1 meetri kõrgusele, on kilpkonn 0,1 meetrit eespool.
- Kui ta jõuab 0,1 meetri kõrgusele, on kilpkonn 0,01 meetrit eespool.
Nii et samas protsessis saab Achilleus lugematul hulgal kaotusi. Muidugi teame täna, et summa 100 + 10 + 1 + 0, 1 + 0, 001 + …=111, 111 … on täpne arv ja määrab, millal Achilleus kilpkonna võidab.
Lõpmatuseni, mitte kaugemale
Zeno näite tekitatud segadus tulenes peamiselt lõpmatust arvust punktidesttähelepanekud ja positsioonid, milleni Achilleus pidi kõigepe alt jõudma, kui kilpkonn ühtlaselt liikus. Seega oleks Achilleuse jaoks peaaegu võimatu kilpkonnast mööduda, rääkimata temast möödumisest.
Esiteks muutub Achilleuse ja kilpkonna vaheline ruumiline kaugus aina väiksemaks. Kuid vahemaa läbimiseks kuluv aeg väheneb proportsionaalselt. Zenoni loodud probleem viib liikumispunktide laienemiseni lõpmatuseni. Kuid matemaatilist kontseptsiooni veel polnud.
Teatavasti õnnestus sellele ülesandele matemaatiliselt põhjendatud lahendus leida arvutuses alles 17. sajandi lõpus. Newton ja Leibniz lähenesid lõpmatule formaalsete matemaatiliste lähenemisviisidega.
Inglise matemaatik, loogik ja filosoof Bertrand Russell ütles, et "…Zeno argumendid ühel või teisel kujul andsid aluse peaaegu kõigile ruumi ja lõpmatuse teooriatele, mida meie ajastul kuni tänapäevani välja pakuti…"
Kas see on sofism või paradoks?
Filosoofilisest vaatenurgast on Achilleus ja kilpkonn paradoks. Arutluskäigus pole vastuolusid ja vigu. Kõik põhineb eesmärkide seadmisel. Achilleuse eesmärk oli mitte järele jõuda ja mööda sõita, vaid järele jõuda. Eesmärgi seadmine – järele jõuda. See ei võimalda kunagi kiirejalgsel Achilleusel kilpkonnast mööduda ega mööduda. Sel juhul ei saa füüsika oma seadustega ega matemaatika aidata Achilleusel sellest aeglasest olendist mööduda.
Tänu sellele keskaegsele filosoofilisele paradoksile,mille Zeno lõi, võime järeldada: peate eesmärgi õigesti seadma ja selle poole liikuma. Püüdes kellelegi järele jõuda, jääte alati teiseks ja parimal juhul isegi siis. Teades, millise eesmärgi inimene seab, võib julgelt öelda, kas ta saavutab selle või raiskab oma aega, ressursse ja energiat.
Päris elus on palju näiteid valest eesmärkide seadmisest. Ja Achilleuse ja kilpkonna paradoks on asjakohane seni, kuni inimkond eksisteerib.
